Physical System Basics

游戏中的物理

物理直觉动态环境现实交互艺术

和游戏玩法息息相关

《彩虹六号》

Half-Life Alyx（~~VR 游戏最严厉的父亲~~）

粒子、烟、流体、布料等的运动和物理密切联系。

注意

这里介绍的物理系统和先前在渲染部分中介绍的 PBR 中的「物理」是两个概念。后者特指物理中的光学特征。

Physics Actors and Shapes

如下图所示，左图是渲染后的虚拟世界；而右图是物理世界，游戏的逻辑和模拟往往在这之上运行的。

Actors

物理世界中的对象通常称为参与者(actor)。参与者可分为：

静态(static)参与者：静止不动的物体，比如挡板等，在游戏中的占比是最大的
动态(dynamic)参与者：符合物理原理的物体，比如下图的箱子会因重力和摩擦力的作用在斜面上运动
触发器(trigger)：
- 像静态参与者那样不会移动，但不会阻塞
- 和游戏逻辑高度相关，会触发消息（或事件），用于通知参与者进入/退出
运动学(kinematic)参与者：根据游戏玩法逻辑直接控制物体运动，可以无视物理定律
- 但违背物理定律会给游戏引来很多麻烦
  
  例子
  
  被野兽一顶直接飞天了...
  
  让笔者想起玩《模拟山羊》的时候了hh

Shapes

参与者的形状各异，需要根据实际情况选择合适的形状，否则会影响到游戏性能，甚至产生各种奇怪的 bug。常见的形状有：

球形(spheres)
- 像球类运动天然适合用球形表示
胶囊状(capsules)
- 很多游戏用胶囊表示一个角色，角色恰好能被一个胶囊包裹起来
- 但这种包裹往往是近似的
盒形(boxes)（正方体/长方体）
- 适合精度要求不高的情形
凸网格(convex meshes)：
- 封闭，不能有洞
- 凸包：任意一个面做无限延伸都不会其他任何面相交
- 能表达更多样更复杂的形状（比如图中的可破坏队形）
三角形网格(triangle meshes)
- 要求物体是密闭的，且是静态的（因为动态物体势必涉及碰撞和求交运算，事情会变得很复杂）
高度场(height fields)
- 更适合表达地形（用盒形或凸包表示的成本很大）

使用物理形状包裹物体的原则

近似：不需要包裹得很精细
简单：偏好简单形状（如有可能请避免使用三角形网格）、最少的形状

形状有很多属性，包括（实际上有些引擎还会给出更多属性）：

质量(mass)和密度(density)：
- 在物理系统中通常假设每个参与者是质量均匀的，这样的物体会有好几个平衡点；而质量不均匀的物体只有一个平衡点（比如不倒翁）
质心(center of mass)：
- 决定了物体的稳定性
摩擦力(friction)和弹性(restitution)：
- 这两个属性由物理材质(physical materials)定义

Forces

只有当力(force)作用在（动态）物体上改变加速度时，才能影响到它们的移动
常见的力有重力(gravity)、拉力(drag)、摩擦力(friction)等
还可以通过施加冲量(impulse)改变参与者的加速度，比如车辆冲撞、爆炸等

Movements

物理基础：牛顿运动定律

牛顿第一定律（无外力作用）
牛顿第二定律（有外力作用）

恒力(constant force)作用下的移动：

\[ \begin{aligned} \vec{F} &= m \vec{a} \\ \vec{a} &= \vec{F} / m \\ \\ \vec{v}(t + \Delta t) &= \vec{v}(t) + \vec{a}(t) \Delta t \\ \vec{x}(t + \Delta t) &= \vec{x}(t) + \vec{v}(t) \Delta t + \frac{1}{2} \vec{a}(t) \Delta t^2 \end{aligned} \]

变力(varying force)作用下的移动：

\[ \begin{aligned} \vec{F} &= m \vec{a} \\ \vec{a} &= \vec{F} / m \\ \\ \vec{v}(t + \Delta t) &= \vec{v}(t) + \int_{t}^{t+\Delta t} \vec{a}(t') \mathrm{d}t' \\ \vec{x}(t + \Delta t) &= \vec{x}(t) + \int_{t}^{t+\Delta t} \vec{v}(t') \mathrm{d}t' \end{aligned} \]

现在考虑地球绕太阳公转这样一个相对简单的运动的例子（假设是圆形轨道）。我们可以用位置、朝向、线速度和角速度这四个量来表示地球在任意时刻 \(t\) 下的运动：

\[ \mathbf{X}(t) = \begin{pmatrix} \vec{x}(t) \\ R(t) \\ \vec{v}(t) \\ \vec{\omega}(t) \end{pmatrix} \]

而要在游戏中模拟这样一个圆周运动，可以这样做：

已知 \(t\) 时刻下位置为 \(\vec{x}(t)\)，线速度为 \(\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{x}(t)}{dt}\)
在模拟步中，令时间步大小为 \(\Delta t\)，我们要计算 \(\vec{x}(t + \Delta t), \vec{v}(t + \Delta t)\)
需要沿时间做积分：\(\vec{x}(t_1) = \vec{x}(t_0) + \int_{t_0}^{t_1} \vec{v}(t) dt\)

这个积分的求解需要用到欧拉法(Euler's method)：

显式（正向）欧拉法：最简单的估计，假设力在时间步内是恒定的

\[ \begin{cases} \vec{v}(t_{1}) = \vec{v}(t_{0}) + M^{-1}\textcolor{cornflowerblue}{\vec{F}(t_{0})}\Delta t \\ \vec{x}(t_{1}) = \vec{x}(t_{0}) + \textcolor{cornflowerblue}{\vec{v}(t_{0})}\Delta t \end{cases} \]

其中标蓝的量表示当前状态，它们都是已知的。

例子：粒子的圆周运动

如果时间步大小过大，结果会「爆炸」！
- 优点：计算简单高效
- 缺点：
  - 不稳定
  - 能量随时间增长
隐式（反向）欧拉法

\[ \begin{cases} \vec{v}(t_{1}) = \vec{v}(t_{0}) + M^{-1}\textcolor{red}{\vec{F}(t_{1})}\Delta t \\ \vec{x}(t_{1}) = \vec{x}(t_{0}) + \textcolor{red}{\vec{v}(t_{1})}\Delta t \end{cases} \]

其中标红的量是未来状态，它们是未知的。
- 隐式欧拉法的结果是螺旋状的
- 优点：无条件稳定
- 缺点：
  - 求解成本高
  - 难以应对非线性问题
  - 能量随时间衰减
半隐式(semi-implicit)欧拉法

\[ \begin{cases} \vec{v}(t_{1}) = \vec{v}(t_{0}) + M^{-1}\textcolor{cornflowerblue}{\vec{F}(t_{0})}\Delta t \\ \vec{x}(t_{1}) = \vec{x}(t_{0}) + \textcolor{red}{\vec{v}(t_{1})}\Delta t \end{cases} \]

同样地，标蓝量为当前状态，标红量为未来状态。
- 若时间步较小，结果近似为一个圆
- 不仅兼具前两种方法的优点，还确保能量不会随时间变化而增长或衰减，因此更适合用于游戏开发中
- 但它还是有一点小问题的：在简谐运动、圆周运动等涉及到三角函数的运动中，通过该方法积分得到的周期会比实际周期略长一些，因而产生一个小的相位差

Rigid Body Dynamics

在之前介绍的内容中，我们假设任何物体都可用一个质点表示，涉及的物理量包括了：

位置 \(\vec{x}\)
线速度(linear velocity) \(\vec{v} = \dfrac{d\vec{x}}{dt}\)
加速度(acceleration) \(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{x}}{dt^2}\)
质量 \(M\)
动量(momentum) \(\vec{p} = M\vec{v}\)
力 \(\vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} = M \vec{a}\)

但大多数物体都有自己的形状，除了上述量（线性值）外，还得考虑自身的旋转（角值(angular value)），包括：

朝向(orientation) \(\bm{R}\)：形式可以是
- 矩阵 \(\bm{R}(t) = \begin{bmatrix}\textcolor{red}{r_{xx}} & \textcolor{green}{r_{yx}} & \textcolor{cornflowerblue}{r_{zx}} \\ \textcolor{red}{r_{xy}} & \textcolor{green}{r_{yy}} & \textcolor{cornflowerblue}{r_{zy}} \\ \textcolor{red}{r_{xz}} & \textcolor{green}{r_{yz}} & \textcolor{cornflowerblue}{r_{zz}}\end{bmatrix}\)
- 四元数 \(q = \begin{bmatrix}s & \vec{v}\end{bmatrix}\)
角速度(angular velocity) \(\vec{\omega}\)：方向为旋转轴的方向

\[ \begin{aligned} \|\vec{\omega}\| &= \frac{d\theta}{dt} \\ \vec{\omega} &= \frac{\vec{v} \times \vec{r}}{\|\vec{r}\|^{2}} \end{aligned} \]

其中 \(\theta\) 为用弧度表示的旋转角
角加速度(angular acceleration) \(\vec{\alpha}\)

\[ \vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} = \frac{\vec{a} \times \vec{r}}{\|\vec{r}\|^{2}} \]
惯性张量(inertia tensor)/转动惯量(rotational inertia) \(\bm{I}\)：描述了刚体的质量分布

\[ \bm{I} = \bm{R} \cdot \bm{I}_0 \cdot \bm{R}^\top \]
- 总质量：\(M = m_1 + m_2\)
- 质心：\(CoM = \dfrac{m_1}{M}(x_1, y_1, z_1) + \dfrac{m_2}{M}(x_2, y_2, z_2)\)
- 初始惯性张量：
  
  \[ I_{0} = \begin{bmatrix} m_{1}(y_{1}^{2} + z_{1}^{2}) + m_{2}(y_{2}^{2} + z_{2}^{2}) & -m_{1}x_{1}y_{1} - m_{2}x_{2}y_{2} & -m_{1}x_{1}z_{1} - m_{2}x_{2}z_{2} \\ -m_{1}y_{1}x_{1} - m_{2}y_{2}x_{2} & m_{1}(x_{1}^{2} + z_{1}^{2}) + m_{2}(x_{2}^{2} + z_{2}^{2}) & -m_{1}y_{1}z_{1} - m_{2}y_{2}z_{2} \\ -m_{1}z_{1}x_{1} - m_{2}z_{2}x_{2} & -m_{1}z_{1}y_{1} - m_{2}z_{2}y_{2} & m_{1}(x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) + m_{2}(x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) \end{bmatrix} \]
角动量(angular momentum) \(\vec{L} = \bm{I} \vec{\omega}\)
- 角动量守恒是一个能被证明的定理
扭矩(torque) \(\vec{\tau}\)

\[ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \frac{d\vec{L}}{dt} \]

其中 \(\vec{F}\) 表示施加在刚体位置 \(\vec{r}\) 上的外力

以上便是刚体动力学(rigid body dynamics)的内容了！

应用：台球(billiard)动力学

尽管我们已经了解了刚体动力学的基本概念，但台球游戏中的物理仍然很复杂。

这里举一个简单的例子：用球杆侧面打击球

摩擦力冲量：\(\vec{p}_F = \int \vec{F} dt = m \vec{v}_x\)
压力冲量：\(\vec{p}_N = \int \vec{N} dt = m \vec{v}_y\)
球角动量：\(\vec{L}_b = \bm{I}_b \vec{\omega} = \vec{p}_F \times \vec{r}_F\)
球线速度：\(\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y\)

Collision Detection

无碰撞检测

没有碰撞检测的时候，参与者之间看起来彼此没有任何关系，像幽灵般穿越彼此，看起来极不真实。

要想在物理世界中表达物体之间的相互作用，碰撞检测(collision detection)是必不可少的一项技术。它一般分为以下两个阶段：

广阶段(broad phase)
窄阶段(narrow phase)

Broad Phase

广阶段的目标是找到相交的刚体 AABBs，这表明有可能的重叠刚体对，实现方法有：

空间划分(space partitioning)，比如边界体积层次(boundary volume hierarchy, BVH)树；下面列举各种 BVH 树的构建方式
- 优点：环境动态变化时，更新成本很低
例子
排序和清理
- 排序阶段（初始化）：对于每个轴
  - 初始化场景时，沿着每个轴对 AABBs 的边界排序
  - 沿着每个轴检查 AABBs 的边界
  - \(A_{\max} \ge B_{\min}\) 意味着 \(A, B\) 之间可能有重叠
- 清理阶段（更新）
  - 只检查边界的交换
    - 时间一致性(temporal coherence)
    - 帧与帧之间的局部步骤
  - 交换 min 和 max 意味着从重叠集合中增加/删除潜在的重叠
  - 交换 min 和 min，或者 max 和 max 则不会影响重叠集合
- 优点：效率非常高（因为大多数物体都是静态的，排好序后也只需调整很少的数字）

Narrow Phase

窄阶段的目标是精确检测重叠情况，生成接触信息。接触信息(contact information)包括：

接触流形(contact manifold)：用一组接触点近似
接触法线(contact normal)
穿透深度(penetration depth)

下面给出窄阶段常用的实现方法。

基本形状相交测试(basic shape intersection test)
- 球-球测试
  - 重叠条件：\(|\vec{c}_2 - \vec{c}_1| - r_1 - r_2 \le 0\)
  - 接触信息：
    - 接触法线：\((\vec{c}_2 - \vec{c}_1) / |\vec{c}_2 - \vec{c}_1|\)
    - 穿透深度：\(|\vec{c}_2 - \vec{c}_1| - r_1 - r_2\)
- 球-胶囊测试
  
  其中 \(\vec{L}\) 为在内部胶囊段中离圆最近的点
  - 重叠条件：\(|\vec{C} - \vec{L}| - r_S - r_C \le 0\)
  - 接触信息：
    - 接触法线：\((\vec{C} - \vec{L}) / |\vec{C} - \vec{L}|\)
    - 穿透深度：\(|\vec{C} - \vec{L}| - r_S - r_C\)
- 胶囊-胶囊测试
  
  其中 \(\vec{L}_1, \vec{L}_2\) 为在两个段之间最近的点
  - 重叠条件：\(|\vec{L}_2 - \vec{L}_1| - r_1 - r_2 \le 0\)
  - 接触信息：
    - 接触法线：\((\vec{L}_2 - \vec{L}_1) / |\vec{L}_2 - \vec{L}_1|\)
    - 穿透深度：\(|\vec{L}_2 - \vec{L}_1| - r_1 - r_2\)
基于闵可夫斯基差的方法(Minkowski difference-based methods)
- 闵可夫斯基和：来自 A 的点 + 来自 B 的点 = 这两个点的闵可夫斯基和
  
  \[ A \oplus B = \{\vec{a} + \vec{b} : \vec{a} \in A, \vec{B} \in B\} \]
  
  例子
  
  例1例2
  
  \[ \begin{aligned} &A: \{ \vec{a}_1, \vec{a}_2 \} \\ &B: \{ \vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3 \} \\ &A \oplus B = \{ \vec{a}_1 + \vec{b}_1, \vec{a}_1 + \vec{b}_2, \vec{a}_1 + \vec{b}_3, \vec{a}_2 + \vec{b}_1, \vec{a}_2 + \vec{b}_2, \vec{a}_2 + \vec{b}_3 \} \end{aligned} \]
  - 关于凸多边形(convex polygon)
    - 定理：若 \(A, B\) 是凸多边形，那么 \(A \oplus B\) 也是凸多边形
    - \(A \oplus B\) 的顶点是 \(A, B\) 的顶点和
- 闵可夫斯基差：来自 A 的点 - 来自 B 的点 = 这两个点的闵可夫斯基差
  
  \[ A \ominus B = \{\vec{a} - \vec{b} : \vec{a} \in A, \vec{B} \in B\} \]
  - 也可以看成 \(A\) 和镜像的 \(B\) 的闵可夫斯基和
    
    \[ A \ominus B = A \oplus (-B) \]
  - 若 \(A, B\) 相交，那么原点一定在它们的闵可夫斯基差的内部
- GJK 算法：
  - 确定迭代方向
    - 检查原点是否在单纯形(simplex)内
    - 在单纯形内找到离原点最近的点
    - 若最近距离还能减少，则继续迭代
  - 从单纯形中移除对新最近点没有贡献的点
  - 寻找支持点 \(\vec{p}_A, \vec{p}_B\)
  - 在闵可夫斯基差上向迭代单纯形添加新点 \(\vec{p}_A - \vec{p}_B\)
  例子
  
  分离的情况重叠的情况
  
  Step 1Step 2Step 3Step 4Step 5
  
  Step 1Step 2Step 3
分离轴定理(seperating axis theorem, SAT)
- 由于凸性(convexity)，任何边都可用于分离两个凸多边形
- 另一种理解：在 2D 情况下，一定能找到一条轴，使得两个多边形的顶点在这条轴上的投影是分离的（两个投影顶点集合没有交集）
- 一定要检查所有的边，直到找到一条分离轴
- 分离标准：\(\textcolor{red}{d} = \vec{n} \cdot (\textcolor{yellowgreen}{\vec{s}} - \textcolor{cornflowerblue}{\vec{p}})\)，穿透深度就是 \(|d|\)
- SAT-2D 算法
  - 对 A 的每条边检查 B 的每个顶点
  - 对 B 的每条边检查 A 的每个顶点
  例子
- SAT-2D 算法的优化：缓存上一个分离轴
- SAT-3D
  - 检查 A 的每个面和 B 的每个顶点 -> 分离轴为 A 的面法线
  - 检查 B 的每个面和 A 的每个顶点 -> 分离轴为 B 的面法线
  - 检查 A 的每条边和 B 的每条边 -> 分离轴为两条边的叉积