Real-Time Physically-Based Materials

基于物理的渲染(physical-based rendering, PBR)是指任何被渲染出来的事物都是基于物理的，涉及到材质、光照、相机、光传输等等。所以，虽然 PBR 材质通常称作「材质」，但它包含的可不仅仅只有材质。

在 RTR 领域，PBR 的进展比离线渲染要落后很多（材质数量少，准确度低），而且 RTR 中的 "PB" 通常不见得真的是「基于物理的」。

对于表面，主要是微表面模型（使用不当，因此不是 PBR）和迪士尼原则下的 BRDF（对艺术家友好，但仍非 PBR）
对于体积，主要关注快速且近似的单次散射和多次散射（适用于云、头发、皮肤等）
通常没有太多新理论，但有很多实现技巧
尽管如此，性能（速度）仍是关键考量因素

Microfacet BRDF

回顾：材质与外观

NDF

NDF 全称为法线分布函数(normal distribution function)，所以和统计学中的正态分布(normal distribution)没有关系。相关的描述模型有：

Beckmann NDF：与高斯分布类似，但是定义在斜率空间(slope space)上

\[ D(h) = \frac{e^{-\frac{\tan^2 \theta_h}{\alpha^2}}}{\pi \alpha^2 \cos^4 \theta_h} \]
- \(\alpha\)：表面粗糙度（数值越小，越接近镜面/高光效果）（对应高斯函数的标准差 \(\sigma\)）
- \(\theta_h\)：半程向量 \(h\) 和法线 \(n\) 之间的夹角
- 描述了各向同性的结果（但也能用来表示各向异性，这里就不展开介绍了）
- 无论角度多大，永远都是有值的，保证微表面不会朝下
- 分母部分的 2 次和 4 次幂是在做归一化处理（涉及到投影立体角的概念）
GGX（或 Trowbridge-Reitz）
- 典型特征：长尾（衰减到掠射角的时候衰减速度放缓，因此相比 Beckmann 值会大些）
- 比较 Beckmann 和 GGX：相比 Beckmann，GGX 的过渡会更加自然
- 扩展 GGX（由来自 WDAS 的 Brent Burley 实现）
  - GTR（广义 Trowbridge-Reitz 分布）
  - 更长的拖尾

Shadowing-masking term

阴影遮蔽项(shadow-masking term)（又称几何项）\(G\)

用于统计微表面自遮挡的量
阴影 -> 光，遮蔽 -> 眼睛
提供暗化效果，特别是在掠射角周围
重要性：假设没有 \(G\) 项，当入射/出射角为掠射角时，物体表面会变得超级亮！
常用的阴影遮蔽项是 Smith 阴影遮蔽项，它解耦了阴影与遮蔽：\(G(\mathbf{i, o, m}) \approx G_1(\mathbf{i, m}) G_1(\mathbf{o, m})\)

Kulla-Conty Approximation for Multiple Bounces

处理好微表面 BRDF 的 \(F, N, G\) 三项后，我们还会遇到一个问题：随着粗糙度的增加，物体看起来会越来越暗，说明能量发生了损失。

图片所示有一个专门的测试，叫做白炉测试(white furnace test)，用来测试 BRDF 有无能量损失。

下图解释了为什么粗糙表面能量损失越严重：越粗糙的表面会有越多越深的沟壑，所以某个微表面的反射光很有可能被另一个微表面挡住，人眼看不到这些反射光，自然觉得能量损失了。

既然损失了能量，就得试图补回来。虽然存在精确的补偿方法（基于模拟的方法），但对 RTR 而言太慢了。一个基本的思路是：被遮挡意味着需要再弹射一次。

出射光的 2D BRDF lobe 为：

\[ E(\mu_o) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\mu_o, \mu_i, \phi) \mu_i d\mu_i d\phi \]

其中 \(\mu = \sin \theta\)

关键思路：

我们可以设计一个额外的 lobe，其积分结果为 \(1 - E(\mu_o)\)（即损失的能量）
出射 BRDF lobe 可因入射方向不同而异
考虑到光路可逆性(reciprocity)，它应具有以下形式：\(c(1 - E(\mu_i))(1 - E(\mu_o))\)

其中 \(c = \pi (1 - E_{\text{avg}})\)，而 \(E_{\text{avg}} = 2 \int_0^1 E(\mu) \mu d \mu\)。验证一下，发现 BRDF 函数 \(c(1 - E(\mu_i))(1 - E(\mu_o))\) 的积分结果确实是 \(1 - E(\mu_o)\)。

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{ms}}\left(\mu_{o}\right) &= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} f_{\mathrm{ms}}\left(\mu_{o}, \mu_{i}, \phi\right) \mu_{i} \mathrm{d} \mu_{i} \mathrm{d} \phi \\ &= 2 \pi \int_{0}^{1} \frac{\left(1-E\left(\mu_{o}\right)\right)\left(1-E\left(\mu_{i}\right)\right)}{\pi\left(1-E_{\mathrm{avg}}\right)} \mu_{i} \mathrm{d} \mu_{i} \\ &= 2 \frac{1-E\left(\mu_{o}\right)}{1-E_{\mathrm{avg}}} \int_{0}^{1}\left(1-E\left(\mu_{i}\right)\right) \mu_{i} \mathrm{d} \mu_{i} \\ &= \frac{1-E\left(\mu_{o}\right)}{1-E_{\mathrm{avg}}}\left(1-E_{\mathrm{avg}}\right) \\ &= 1-E\left(\mu_{o}\right) \end{aligned} \]

然而，无论是 \(E(\mu)\) 还是 \(E_{\text{avg}}\)，它们都不是解析解。不过我们可以借助前面学到的分割和近似方法，进行预计算或打表(tabulate)，不过需要保证依赖的参数数量不能太多。\(E(\mu)\) 和 \(E_{\text{avg}}\) 依赖的参数/维度分别是：

\(E(\mu)\)：粗糙度和 \(\mu\)（2D 表格）
\(E_{\text{avg}}\)：只有粗糙度（1D 表格）

结果

但如果 BRDF 包含颜色信息的话，意味着有部分光会被吸收，那么能量自然就会损失了。所以还需额外定义一个平均菲涅尔项，反映有多少反射出去的能量：

\[ F_{\text{avg}} = \frac{\int_{0}^{1} F(\mu) \mu \mathrm{d}\mu}{\int_{0}^{1} \mu \mathrm{d}\mu} = 2 \int_{0}^{1} F(\mu) \mu \mathrm{d}\mu \]

而之前的 \(E_{\text{avg}}\) 对应有多少能量为我们所见，但不会参与到后续多次弹射。

因此，关于能量（颜色）看到的比例：

直接能看到的：\(F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)
弹射一次后能看到的：\(F_{\text{avg}} (1 - E_{\text{avg}}) \cdot F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)
...
弹射 \(k\) 次后能看到的：\(F_{\text{avg}}^k (1 - E_{\text{avg}})^k \cdot F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}\)

将这些全部加起来（求级数），可以得到颜色项 \(\dfrac{F_{\text{avg}} E_{\text{avg}}}{1 - F_{\text{avg}}(1 - E_{\text{avg}})}\)。它可以直接和无颜色的补偿 BRDF 相乘。

结果

最近有一种不好的现象是将微表面 BRDF 和漫反射 lobe 相结合，这在计算机视觉的材质识别领域尤为普遍。这实际上是一种完全错误的做法。

物理上完全不正确
无法保证能量守恒（原来在 Kulla-Conty 法中得到修正，当然也可通过其他方法修正）

Linearly Transformed Cosines (LTC)

定义好为表面的 BRDF 后，接下来看如何给微表面着色。我们用到的方法是线性变换余弦(linearly transformed cosine, LTC)。

虽然可以用在其他 NDF 上，但主要还是用在 GGX 上
不考虑阴影
处在多边形光照(polygon shaped lighting)下

关键思路如下：

任何出射的 2D BRDF lobe 均可转换为余弦形式
光源的形状也可随之进行变换
在（固定的）余弦 lobe 上对变换后的光源进行积分具有解析解

观察发现：

BRDF \(\xrightarrow{M^{-1}}\) 余弦
方向：\(\omega_i \xrightarrow{M^{-1}} \omega_i'\)
积分域：\(P \xrightarrow{M^{-1}} P'\)

具体做法就是对变量的一个简单改动：\(\omega_i = \dfrac{M \omega_i'}{\|M \omega_i'\|}\)（附带归一化处理），因此渲染方程变为：

\[ \begin{aligned} L\left(\omega_{o}\right) & =L_{i} \cdot \int_{P} F\left(\omega_{i}\right) \mathrm{d} \omega_{i} \\ & =L_{i} \cdot \int_{P} \cos \left(\omega_{i}^{\prime}\right) \mathrm{d} \frac{M \omega_{i}^{\prime}}{\left\|M \omega_{i}^{\prime}\right\|} \\ & =L_{i} \cdot \int_{P^{\prime}} \cos \left(\omega_{i}^{\prime}\right) J \mathrm{~d} \omega_{i}^{\prime} \end{aligned} \]